设F1、F2为椭圆x2/4+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点,当四边形PF1QF2面积最大时,向量PF1 点乘 向量PF2=?

题目

设F1、F2为椭圆x2/4+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P、Q两点,当四边形PF1QF2面积最大时,向量PF1 点乘 向量PF2=?

答案

当四边形PF1QF2面积最大时,PQ为椭圆短轴.此时PF1=PF2=a,由余弦定理：
|F1F2|^2=|PF1|^2+|PF2|^2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2
而向量PF1点乘向量PF2=|PF1||PF2|cos∠F1PF2
所以向量PF1点乘向量PF2=[a^2+a^2-(2c)^2]/2
=a^2-2c^2
=2b^2-a^2
=2*1-4
=-2