在三角形ABC中,a=（根号3）-1,b=（根号6）/2,角C=π/4,试判断三角形ABC的形状.0分

题目

在三角形ABC中,a=（根号3）-1,b=（根号6）/2,角C=π/4,试判断三角形ABC的形状.0分

答案

wangyinchun73　的答案是正确的!下面我把过程描述得详细些,希望你能看明白.
过A作AD⊥BC,垂足为D.
∵∠ACD＝π/4,AD⊥CD,∴AC＝√2CD,∴CD＝AC/√2＝（√6/2）/√2＝√3/2.
明显有：1＞√3/2,∴1＋√3/2＝√3/2＋√3/2＝√3,∴√3/2＞√3－1,∴CD＞√3－1.
∵BC＝√3－1,而CD＞√3－1,∴CD＞BC,这说明点D在CB的延长线上.
由三角形外角定理,有：∠ABC＝∠ADC＋∠CAD＝90°＋∠ACD,∴∠ABC是钝角,
∴△ABC是以∠B为钝角的钝角三角形.
［另解1］
过B作BE⊥BC交直线CA于E.
∵BE⊥BC、∠BCE＝π/4,∴CE＝√2BC＝√2（√3－1）＝√6－√3,又AC＝√6/2,
∴AC－CE＝√6/2－（√6－√3）＝√3－√6/2＝（√3/2）（2－√2）＞0,∴AC＞CE,
∴点E在线段AC上,∴∠ABC＞∠CBE＝90°,∴∠ABC是钝角,
∴△ABC是以∠B为钝角的钝角三角形.
［另解2］
过B作BF⊥AC,垂足为F.
∵BF⊥CF、∠BCF＝π/4,∴BF＝CF＝（√2/2）BC＝（√2/2）（√3－1）＝√6/2－√2/2,
∴AC－CF＝√6/2－（√6/2－√2/2）＝√2/2＞0,∴AC＞CF,∴点F在线段AC上.
∵AF⊥BF,
∴tan∠ABF＝AF/BF＝（AC－CF）/BF＝（√2/2）/（√6/2－√2/2）＝1/（√3－1）＞1.
∵AF⊥BF,∴∠ABF是锐角,而当x为锐角时,y＝tanx是增函数,又tan（π/4）＝1,
∴∠ABF＞π/4,∴∠ABC＝∠ABF＋∠CBF＞π/4＋∠CBF.
由BF⊥CF、∠BCF＝π/4,得：∠CBF＝π/4,∴∠ABF＞π/4＋∠CBF＝π/2,∴∠ABF是钝角.
∴△ABC是以∠B为钝角的钝角三角形.
［另解3］
由余弦定理,计算出AB,再由余弦定理计算出cos∠ABC＜0.［该法计算量大,此处略］