设a>b>0,则a2+1ab+1a(a-b)的最小值是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4

设a>b>0,则a2+1ab+1a(a-b)的最小值是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4

题目
设a>b>0,则a2+
1
ab
+
1
a(a-b)
的最小值是(  )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案
a2+
1
ab
+
1
a(a-b)
=ab+
1
ab
+a(a-b)+
1
a(a-b)
≥4
当且仅当
ab=
1
ab
a(a-b)=
1
a(a-b)
取等号
a=
2
b=
2
2
取等号.
a2+
1
ab
+
1
a(a-b)
的最小值为4
故选:D
a2+
1
ab
+
1
a(a−b)
变形为ab+
1
ab
+a(a−b)+
1
a(a−b)
,然后前两项和后两项分别用均值不等式,即可求得最小值.

基本不等式在最值问题中的应用.

本题考查凑成几个数的乘积为定值,利用基本不等式求出最值.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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