数学对数证明题

题目

数学对数证明题
△ABC的三边为a,b,c,且满足8^a=8^b*2^c,log_2c(b)+log_2c(3a-2c)=2,试判断△ABC的形状,并写出推理过程.

答案

对已知条件8^a=8^b*2^c进行变化：
原式(2^3)^a=(2^3)^b * 2^c
2^(3a)=2^(3b) * 2^c
2^(3a)=2^(3b+c)
3a=3b+c
a=b+c/3 *
再对已知条件log_2c(b)+log_2c(3a-2c)=2进行变化：
原式log_2c[b*(3a-2c)]=log_2c(2c)^
b*(3a-2c)=(2c)^
将“*”式代入上面的等式：
上式b*(3b+c-2c)=4c^
3b^-bc-4c^=0
(3b-4c)*(b+c)=0
3b=4c (b,c是三角形的边,肯定各自大于0,相加更是大于0,于是可以约掉)
b=4c/3
将上式代入“*”式：
"*"a=4c/3+c/3=5c/3
这样,求出了a,b,c三边各自的对应关系,可以轻易判断出△ABC是直角三角形,其中∠A是直角,
a^=25c^/9
而b^+c^=(4c/3)^+c^=16c^/9 +c^=25c^/9
a^=b^+c^
由勾股定理的逆定理,可判断出△ABC是以∠A为直角的直角三角形