设函数的定义域为(0,+∞）,且对任意的正实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(1/2)=1,且当x>1时,f(x)＜0（1）求f(1)的值（2）证明：函数f(x)在（0,+∞）

题目

设函数的定义域为(0,+∞）,且对任意的正实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(1/2)=1,且当x>1时,f(x)＜0（1）求f(1)的值（2）证明：函数f(x)在（0,+∞）上是减函数,若f(x)+f(x-3/4)＜2求实数x的取值范围.

答案

（1） ∵ 正实数x,y,有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立又 ∵ f(1/2)=1∴ f(1/2)=f(1*1/2)=f(1)+f(1/2)=1∴ f(1)=0 （2）令0＜x1＜x2＜+∞由题已知f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,以及（1）中f(1/2)=1,f(1)=0,可得,f(x)=log(1/2)（x） ...