设2009x³=2010y³=2011Z³ XYZ>0 且 立方根（2009x²+2010y²+2011²）=立方根2

题目

设2009x³=2010y³=2011Z³ XYZ>0 且 立方根（2009x²+2010y²+2011²）=立方根2
设2009x³=2010y³=2011Z³ XYZ>0 且 立方根（2009x²+2010y²+2011²）=立方根2009+立方根2010+立方根2011 求1/X+1/Y+1/Z的值

答案

设2009x³=2010y³=2011Z³ =K³
则：
K=X*立方根2009
K=Y*立方根2010
K=Z*立方根2011
将“立方根（2009x²+2010y²+2011²）=立方根2009+立方根2010+立方根2011” 等号两端同时除以K
立方根（2009x²/K³+2010y²/K³+2011²/K³）=立方根2009/K+立方根2010/K+立方根2011/K
立方根（1/X+1/Y+1/Z）=1/X+1/Y+1/Z
（1/X+1/Y+1/Z）^2=1
1/X+1/Y+1/Z=1 （XYZ>0,说明X、Y、Z都是正数)