已知函数f(x)=sin(x/2)cos(x/2)+根号3cos^(x/2). 如果三角形ABC的三边满足a,b,c满足b^2=ac且边b所对的角为x

题目

已知函数f(x)=sin(x/2)cos(x/2)+根号3cos^(x/2). 如果三角形ABC的三边满足a,b,c满足b^2=ac且边b所对的角为x
求角x的取值范围及此时函数f(x)的值域

答案

f(x)=sin(x/2)cos(x/2)+√3(cos(x/2))^2
=(1/2)sinx+√3(1+cosx)/2
=√3/2+sin(x+π/3)
根据余弦定理：
cosx=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)
=(a^2+c^2-ac)/(2ac)
≧(2ac-ac)/(2ac)
即：cosx≧1/2
x为三角形内角,所以x的范围为：
0＜x≦π/3
f(x)的单调增区间为0＜x≦π/6
当x=0时,f(x)=√3
当x=π/6时,f(x)=1+√3/2
所以f(x)的范围为：
√3＜f(x)≦1+√3/2