如何证明x^x=e的根是无理数?

题目

如何证明x^x=e的根是无理数?

答案

要再两个前提下很容易证明
1.有理数的有限次乘积依然是有理数
2.e的正整数次方依然是无理数
则假设x^x=e的根是有理数,则x=p/q
(p/q)^(p/q)=e => (p/q)^p = e^q是无理数
而(p/q)^p是有理数的有限次乘积,不可能是无理数