已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N* （1）证明：{an-1}是等比数列； （2）求数列{an}的前n项和Sn．

题目

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*
（1）证明：{a_n-1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

答案

（1）证明：∵Sn=n-5an-85，n∈N*（1）
∴S_n+1=（n+1）-5a_n+1-85（2），
由（2）-（1）可得：a_n+1=1-5（a_n+1-a_n），即：a_n+1-1=

5

6

（a_n-1），
从而{a_n-1}为等比数列；
（2）由Sn=n-5an-85，n∈N*可得：a₁=S₁=1-5a₁-85，即a₁=-14，
∵数列{a_n-1}为等比数列，且首项a₁-1=-15，公比为

5

6

，
∴通项公式为a_n-1=-15•(

5

6

)n−1，从而a_n=-15•(

5

6

)n−1+1，
∴Sn＝n+75•(

5

6

)n−1−90．