如何推出cos x的导数是-sin

题目

如何推出cos x的导数是-sin

答案

根据导数定义：
(cosx)'=lim {t-->0} [cos(x+t)-cosx]/t
=lim {t-->0} [cosx*cost-sinx*sint-cosx]/t
=lim {t-->0} [cosx*(cost-1)-sinx*sint]/t
=lim {t-->0} [cosx*(cost-1)]/t + lim {t-->0} -(sinx*sint)/t
由于cost-1等价于-(1/2)t^2
sint等价于t,
用等价无穷小替换：
原式=lim {t-->0} [cosx*(-1/2)t^2]/t + lim {t-->0} -(sinx*t)/t
=-sinx

直接替换t^2结果虽然是一样的,但是逻辑上有问题.
cost=1 - (t^2)/2! + (t^4)/4! - (t^6)/6! + ...
所以cost-1等价于-(t^2)/2
如果你直接换成t^2,由于分子式t^2,分母是t,所以分式极限也是0.但是这是巧合,如果分母也是t^2量级的话,结果就不一样了.