若函数f(x)为定义在R上的奇函数,且x∈(0,+∞)时,f(x)=lg(x+1),求f(x)的表达式,并画出示意图.
题目
若函数f(x)为定义在R上的奇函数,且x∈(0,+∞)时,f(x)=lg(x+1),求f(x)的表达式,并画出示意图.
答案
①当x=0时,f(0)=0;
②当x<0时,-x>0,
∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)=-f(-x)=-lg(-x+1),
综上:
f(x)= | lg(x+1),(x>0) | 0,(x=0) | −lg(−x+1),(x<0) |
| |
其图象如下图所示:
根据函数f(x)为定义域为R的奇函数,当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg(x+1),我们根据定义域为R的奇函数的图象必过原点,则f(-x)=-f(x),即可求出函数f(x)在R上的解析式;
函数奇偶性的性质.
本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,其中根据奇函数的图象必过原点,及奇函数的定义f(-x)=-f(x),求出当x<0时的解析式,是解答本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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