已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点P(4,m)到焦点的距离为6

题目

已知抛物线C的顶点在原点,焦点在x轴上,且抛物线上有一点P(4,m)到焦点的距离为6
1、求抛物线C的方程
2、若抛物线C与直线y=kx-2相交于不同的两点A、B,且AB重点横坐标为2,求k的值
两题都要求有详细解答过程,谢谢了啊!

答案

1.不妨设抛物线方程为y²=2px
则P到焦点的距离等于它到准线的距离,而准线方程为x=-p/2
则4+p/2=6
p=4
y²=8x
2.联立直线与圆的方程,可得
(kx-2)²=8x
k²x²+4-4kx=8x
k²x²-(4k+8)x+4=0
若设A(x1,y1)B(x2,y2)
则x1,x2为方程的解,
则x1+x2=-[-(4k+8)]/k²=(4k+8)/k²
而AB中点的横坐标应为(x1+x2)/2=(2k+4)/k²=2
则k²-k-2=0,
(k+1)(k-2)=0
k=-1,k=2
而当k=-1时,原方程的△=0,不符题意,舍去
所以k=2