在数列{an}中，a1=1，an=2（an-1-1）+n（n≥2，n∈N*） （1）求a2，a3的值； （2）证明：数列{an+n}是等比数列，并求{an}的通项公式； （3）求数列{an}的前n项和

题目

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n=2（a_n-1-1）+n（n≥2，n∈N^*）
（1）求a₂，a₃的值；
（2）证明：数列{a_n+n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

答案

（1）a₁=1，a_n=2a_n-1+n-2（n≥2，n∈N^*）
∴a₂=2a₁+2-2=2…（2分）
a₃=2a₂+3-2=5…（4分）
（2）证明：∵

an+1+n+1

an+ n

＝

(2an+n−1)+n+1

an+n

＝2
∴数列{a_n+n}是首项为a₁+1=2公比为2的等比数列…（7分）
a_n+n=2•2^n-1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-n
∴{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ-n…（9分）
（3）∵{a_n}的通项公式为a_n=2ⁿ-n
∴S_n=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-（1+2+3+…+n）…（11分）
=

2(1−2n)

1−2

−

n(n+1)

2

＝2n+1−

n2+n+4

2

…（12分）