设向量a=(1,-1)b=(3,-4).x=a+λb,λ为实数试证使|x|最小的向量x垂直于b

设向量a=(1,-1)b=(3,-4).x=a+λb,λ为实数试证使|x|最小的向量x垂直于b

题目
设向量a=(1,-1)b=(3,-4).x=a+λb,λ为实数试证使|x|最小的向量x垂直于b
a b x都为向量
答案
向量x=(1,-1)+λ(3,-4)=(1+3λ,-1-4λ)
|x|²=(1+3λ)²+(-1-4λ)²=2+14λ+25λ²(*)
显然当且仅当|x|²最小时,|x|最小.
(*)两边求导得:(|x|²)'=50λ+14
令50λ+14=0得驻点:λ=-7/25
易知当λ=-7/25时,|x|最小,
此时向量x=(4/25,3/25)
因为向量x·向量b=(4/25,3/25)·(3,-4)=0
所以向量x⊥向量b
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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