设向量a=(1,-1)b=(3,-4).x=a+λb,λ为实数试证使｜x｜最小的向量x垂直于b

题目

设向量a=(1,-1)b=(3,-4).x=a+λb,λ为实数试证使｜x｜最小的向量x垂直于b
a b x都为向量

答案

向量x=(1,-1)+λ(3,-4)=(1+3λ,-1-4λ)
|x|²=(1+3λ)²+(-1-4λ)²=2+14λ+25λ²(*)
显然当且仅当|x|²最小时,|x|最小.
(*)两边求导得：(|x|²)'=50λ+14
令50λ+14=0得驻点：λ=-7/25
易知当λ=-7/25时,|x|最小,
此时向量x=(4/25,3/25)
因为向量x·向量b=(4/25,3/25)·(3,-4)=0
所以向量x⊥向量b