在平面直角坐标系xOy中,点P到两点（0、-根号3）（0,根号3）的距离之和等于4,设点P的轨迹方程为C

题目

在平面直角坐标系xOy中,点P到两点（0、-根号3）（0,根号3）的距离之和等于4,设点P的轨迹方程为C

答案

(Ⅰ)由题意,根据椭圆的定义可知
点P满足椭圆的定义,所以轨迹C是个椭圆,且焦点在Y轴上
焦距为2√3（即2c=2√3,c=√3） 长轴长4（即2a=4,a=2） 从而短轴长2（即2b=2,b=1）
所以轨迹C的方程为 x²+y²/4=1
(Ⅱ)设A（x1,y1） B（x2,y2）
将y=kx+1带入 x²+y²/4=1 中,化简得 (k²+4)x²+2kx-3=0
由韦达定理 可知 x1+x2= - 2k/ (k²+4) x1*x2= -3/ (k²+4)
因为A、B在直线y=kx+1上,满足直线方程,有y1=kx1+1,y2=kx2+1
所以y1*y2=（kx1+1）*（kx2+1）=k²x1x2+k(x1+x2)+1=（4-4k²）/(k²+4)
要想 OA⊥OB 则 x1x2+y1y2=0 （向量垂直,则数量积为零,数量积用坐标表示就是对应坐标乘积之和）
∴-3/ (k²+4)+（4-4k²）/(k²+4)=0 解得 k=±（1／2）
|AB|=√（1+k²）[（x1+x2）²-4x1x2]=（4√65）/17