如图,在等腰梯形ABCD中,AB平行CD;AB=9,CD=3,AD=BC=5,

题目

如图,在等腰梯形ABCD中,AB平行CD;AB=9,CD=3,AD=BC=5,
如图,在等腰梯形ABCD中,AB平行CD;AB=9,CD=3,AD=BC=5,DE垂直于AB于点E,动点M从点A出发沿线段AB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动；动点N同时从点B出发沿线段BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动.设运动时间为t秒（0＜t＜九分之二）（1）DE的长为多少?（2）当MN平行AD时,求t的值；（3）试探究：t为何值时,三角形MNB为等腰三角形?

答案

（1）由等腰梯形可以得出AE的长度为AB减去CD的一半,根据勾股定理可以得出DE的长度．
（2）连接EC,可以得出AD∥CE,即CE∥MN,得出△BMN∽△BEC,根据对应线段的比例关系可以得出答案．
（3）要使△MNB为等腰三角形应分三种情况讨论：①当NM=NB时、②当BM=BN时、③当MN=MB时三种情况下t的值即可．（1）∵四边形ABCD是等腰梯形,DE⊥AB于点E,AB∥CD,
∴AE= （AB-CD）=3,
在Rt△AED中,由勾股定理可得：
∴DE= = =4,
（2）由（1）可得AE=3=CD,连接CE,如右图所示：
∵AE∥DC且AE=DC,
∴四边形AECD是平行四边形,
∴AD=CE且AD∥CE
又∵MN∥AD,
∴MN∥CE
∴△BMN∽△BEC,
∴ = ,
t秒后,BM=AB-2t=9-2t,BN=t,BE=6,BC=5
即： = ,t= ．
所以,t的值为 秒．
（3）在△MNB中,BM=AB-2t=9-2t,BN=t,
①当NM=NB时,MN∥CE,
此时,由（1）知t的值为 秒；
②当BM=BN时,9-2t=t,t=3,
此时,t的值为3秒．
③当MN=MB时,过点M作MH⊥BC于H,过点C作CG⊥AB于G,如右图所示：
∵∠B=∠B,∠MHB=∠CGB
∴△BMH∽△BCG
∴ = ,即： = ,t= ,
所以,此时t的值为： ．
所以,当t= 秒,t=3秒,t= 秒时,△MNB为等腰三角形．