请问一下老师了,V1、V2分别是齐次线性方程组x1+x2+..+xn=0和x1=x2=..=xn的解空间,证明V1⊕V2=R^n

题目

请问一下老师了,V1、V2分别是齐次线性方程组x1+x2+..+xn=0和x1=x2=..=xn的解空间,证明V1⊕V2=R^n

答案

a1=(1,-1,0,...,0)
a2=(1,0,-1,...,0)
...
an-1=(1,0,0,...,-1)
是 x1+x2+..+xn=0 的基础解系
an = (1,1,1,...,1)
是 x1=x2=..=xn 的基础解系
所以 V1 = L(a1,a2,...,an-1), V2 = L(an).
因为 a1,a2,...,an-1,an 线性无关, 所以 V1+V2 = R^n
因为 方程组
x1+x2+..+xn=0
x1=x2=..=xn
只有零解, 所以 V1交V2 = {0}
所以 V1♁V2=R^n