如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA=OB． （1）求b+c的值； （2）若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，试求抛物线的解析式； （3）

题目

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA=OB．
（1）求b+c的值；
（2）若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，试求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，作∠OBC的角平分线，与抛物线交于点P，求点P的坐标．

答案

（1）由题意得：点B的坐标为（0，c），其中c＞0，OB=c，
∵OA=OB，点A在x轴的负半轴上，
∴点A的坐标为（-c，0），
∵点A在抛物线y=-x²+bx+c上，
∴0=-c²-bc+c，
∵c＞0，
∴两边都除以c得：0=-c-b+1，
b+c=1，
答：b+c的值是1．

（2）∵四边形OABC是平行四边形
∴BC=AO=c，
又∵BC∥x轴，点B的坐标为（0，c）
∴点C的坐标为（c，c），
又点C在抛物线上，
∴c=-c²+bc+c
∴b-c=0或c=0（舍去），
又由（1）知：b+c=1，
∴b＝

1

2

，c＝

1

2

，
∴抛物线的解析式为y＝−x2+

1

2

x+

1

2

，
答：抛物线的解析式是y=-x²+

1

2

x+

1

2

．
（3）过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N，PM交BC的延长线于H，
∵由（2）知BC∥x轴，PM⊥x轴，
∴PH⊥BC，
∵BP平分∠OBC，PN⊥y轴，PH⊥BC，
∴PN=PH，
设点P的坐标为(x，−x2+

1

2

x+

1

2

)，
∴PN=x，ON=PM=-（-x²+

1

2

x+

1

2

）
∴BN=BO+ON=

1

2

-（-x²+

1

2

x+

1

2

），PN=x，
∴BN=PN，即

1

2

−(−x2+

1

2

x+

1

2

)＝x，
解得：x＝

3

2

或x=0，
当x=

3

2

时，-x²+

1

2

x+

1

2

=-1，
∴点P的坐标为（1.5，-1），
当x=0时，-x²+

1

2

x+

1

2

=

1

2

，、
∴点P的坐标为（0，

1

2

），此时P和B重合，舍去，
答：点P的坐标是（1.5，-1）．