若α是实系数一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0）的一个虚根,且α^3∈R,证明b^2=ac

题目

若α是实系数一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0）的一个虚根,且α^3∈R,证明b^2=ac

答案

若α是实系数一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0）的一个虚根,则有α的共轭复数β也是它的一个根.设α=m+in β=m-in（n≠0）因此,由韦达定理可知 α+β=-b/a αβ=c/a即 2m=-b/a,m=-b/（2a） m＾2+n＾2=c/a ⑴又因为α^3...