如何证明级数1/ln（x+1）和1/n-1收敛

题目

如何证明级数1/ln（x+1）和1/n-1收敛
不是1/ln（x+1）是ln（x+1）/x^2

答案

由洛必达法则,lim ln(1+x)/√x = lim 1/(1+x) * √x/2 = 0,
∴存在常数C>0,ln(1+x) < C√x
于是ln(n+1)/n^2 < C/n^{3/2},而后者收敛,所以正项级数∑ln(n+1)/n^2收敛
（注：lim ln(1+x)/√x = 0不是本质的,可以把√x替换成任意x^a,a>0）
级数∑1/(n-1)不收敛