定义域为R的奇函数f(x)周期为2,且当x属于(0,1)时,f(x)=2x次方/（4x次方+1）

题目

定义域为R的奇函数f(x)周期为2,且当x属于(0,1)时,f(x)=2x次方/（4x次方+1）
（1）求f(x)在【1,3】上的解析式
（2）当m取何值时,方程f(x)=m在（0,1）上有解?

答案

（1）x∈(0,1)时,f(x)=2^x/（4^x+1）
因为f(x)奇函数,所以x∈(-1,0)时,f(x)=-2^(-x)/[4^(-x)+1]=-2^x/（4^x+1）
因为f(x)是周期函数,周期为2,当x∈(1,2)时,x-2∈(-1,0),f(x)=f(x-2)=-2^(x-2)/[4^(x-2)+1]
当x∈(2,3)时,x-2∈(0,1),f(x)=f(x-2)=2^（x-2）/[4^（x-2）+1]
因为f(x)是奇函数f(0)=f(2)=0,f(0)=0,f(-1)=-f(1)=f(1)=f(3)=0
所以 f(x)=)=2^(x-2)/[4^(x-2)+1],x∈(2,3);
f(x)=-2^(x-2)/[4^(x-2)+1],x∈(1,2)
f(x)=0,x=1,2,3 （分段函数）
（2）x∈(0,1)时,f(x)=2^x/（4^x+1）=1/(2^x+1/2^x)为减函数,值域为（2,/5,1/2)
若方程f(x)=m在（0,1）上有解,则m∈（2,/5,1/2)