定义在R上的函数f(x)满足:f(x+3)+f(x)=0,且函数f(x-3/2)为奇函数.证明:函数f(x)的图像关于y轴对称.
题目
定义在R上的函数f(x)满足:f(x+3)+f(x)=0,且函数f(x-3/2)为奇函数.证明:函数f(x)的图像关于y轴对称.
答案
只需证明f(x)为偶函数
依题有:f(x-3/2)=-f(-x-3/2) 即f(x-3/2)+f(-x-3/2)=0 令x=x+3/2 得f(x)+f(-x-3)=0
又由 f(x+3)+f(x)=0 得f(x+3)=f(-x-3)
令x=x-3 即 f(x)=f(-x) 所以 f(x) 为偶函数,关于y轴对称
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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