椭圆中心在原点,焦点在X轴上,离心率e=根号3 除以2,它在直线x+y=1交于P.Q两点,若OP垂直于OQ

题目

椭圆中心在原点,焦点在X轴上,离心率e=根号3 除以2,它在直线x+y=1交于P.Q两点,若OP垂直于OQ

答案

x+y=1,所以y=-x+1,代入x²/a²+y²/b²=1中,(a²+b²)x-2a²x+(a²-a²b²)=0
所以x1x2=(a²-a²b²)/(a²+b²),
y1y2=(-x1+1)(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1=(a²-a²b²)/(a²+b²)-(2a²)/(a²+b²)+1
因为OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0
即2(a²-a²b²)/(a²+b²)-(2a²)/(a²+b²)+1=0,所以 a²b²=a²+b²
又因为e=c/a=√3/2,所以 a²=4b²
解得a²=5,b²=5/4
所以椭圆方程为x²/5+4y²/5=1