求证:两个相交平面分别过两条平行直线,则它们的交线和这两条平行直线平行

题目

求证:两个相交平面分别过两条平行直线,则它们的交线和这两条平行直线平行

答案

平面a过直线EF,平面b过直线CD,且EF∥CD,平面a∩平面b＝AB.求证：AB∥EF、AB∥CD.
［证明］
利用反证法.假设AB∩EF＝M.
∵EF∥CD,∴CDFE共面.
由假设,AB∩EF＝M,∴M∈平面CDFE.
∵EF∥CD、AB∩EF＝M,∴AB、CD相交.
∵一条直线与平面相交时,只有一个交点,∴AB∩CD＝M,又AB∩EF＝M,∴EF∩CD＝M.
这明显与EF∥CD相矛盾.
∴AB∩EF＝M的假设是错误的,∴AB∥EF,而EF∥CD,∴AB∥CD.