排列组合捆绑法 的例题

题目

排列组合捆绑法 的例题

答案

捆绑法和插空法是解排列组合问题的重要方法之一,主要用于解决“相邻问题”及“不邻问题”.总的解题原则是“相邻问题捆绑法,不邻问题插空法”.在实际公务员考试培训过程中,我发现学员经常碰到这样的困惑,就是一样类型的题目,不过表达的形式有所变化,就很难用已解过的题目的方法去解决它,从而降低了学习效率.下面结合有关捆绑法和插空法的不同变化形式,以实际例题详细讲解.
“相邻问题”捆绑法,即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时,先将其“捆绑”后整体考虑,也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序,然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略.
例1．若有A、B、C、D、E五个人排队,要求A和B两个人必须站在相邻位置,则有多少排队方法?
【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起,首先将A和B两个人“捆绑”,视其为“一个人”,也即对“A,B”、C、D、E“四个人”进行排列,有种排法.又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序,有种排法.根据分步乘法原理,总的排法有种.
例2．有8本不同的书,其中数学书3本,外语书2本,其它学科书3本.若将这些书排成一列放在书架上,让数学书排在一起,外语书也恰好排在一起的排法共有多少种?
【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书,2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书,与其它3本书一起看作5个元素,共有种排法；又3本数学书有种排法,2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种.
运用捆绑法解决排列组合问题时,一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题.解题过程是“先捆绑,再排列”.
“不邻问题”插空法,即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时,先将其它元素排好,再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置,从而将问题解决的策略.
例3．若有A、B、C、D、E五个人排队,要求A和B两个人必须不站在一起,则有多少排队方法?
【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开.首先将C、D、E三个人排列,有种排法；若排成D C E,则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置,也即是：〕 D 〕 C 〕 E 〕 ,此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置,有种插法.由乘法原理,共有排队方法：.
例4．在一张节目单中原有6个节目,若保持这些节目相对顺序不变,再添加进去3个节目,则所有不同的添加方法共有多少种?
【解析】：直接解答较为麻烦,可根据插空法去解题,故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后,中间和两端共有7个空位）,有种方法；再用另一个节目去插8个空位,有种方法；用最后一个节目去插9个空位,有方法,由乘法原理得：所有不同的添加方法为=504种.
例4．一条马路上有编号为1、2、……、9的九盏路灯,为了节约用电,可以把其中的三盏关掉,但不能同时关掉相邻的两盏或三盏,则所有不同的关灯方法有多少种?
【解析】：若直接解答须分类讨论,情况较复杂.故可把六盏亮着的灯看作六个元素,然后用不亮的三盏灯去插7个空位,共有种方法（请您想想为什么不是）,因此所有不同的关灯方法有种.
运用插空法解决排列组合问题时,一定要注意插空位置包括先排好元素“中间空位”和“两端空位”.解题过程是“先排列,再插空”.