如图,△ABC中,∠ABC=60°,AD,CE分别为BC,AB上的高,F为AC的中点,试判断△DEF的形状,并证明你的结论.

如图,△ABC中,∠ABC=60°,AD,CE分别为BC,AB上的高,F为AC的中点,试判断△DEF的形状,并证明你的结论.

题目
如图,△ABC中,∠ABC=60°,AD,CE分别为BC,AB上的高,F为AC的中点,试判断△DEF的形状,并证明你的结论.
答案
连接EF,△DEF为等边三角形,由∠ABC=60°,
易得:
BE
BC
BD
AB
1
2

∴△BDE∽△BAC,
DE
AC
BD
AB
1
2

∴DE=
1
2
AC.
又∵F为中点,
∴在Rt△ADC中,DF=
1
2
AC,在Rt△ACE中,EF=
1
2
AC.
所以DE=DF=EF.
即:△DEF为等边三角形.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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