怎么样快速理解高一数学必修1对数的运算

题目

怎么样快速理解高一数学必修1对数的运算

答案

对数的公理化定义

  真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零,   底数则要大于0且不为1   对数函数的底数为什么要大于0且不为1?   【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的.但是,根据对数定义: logaa=1；如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数（比如log1 1也可以等于2,3,4,5,等等）第二,根据定义运算公式：loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如,log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4；一个等于4,另一个等于-4）】   通常我们将以10为底的对数叫常用对数（common logarithm),并把log10N记为lgN.另外,在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数（natural logarithm),并且把loge N 记为In N. 根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系：   当a 〉0,a≠ 1时,a^x=N→X=logaN.   由指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论：   负数和零没有对数；   loga 1=0 loga a=1

编辑本段对数的定义和运算性质

  一般地,如果a（a大于0,且a不等于1）的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log(a)（N）=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.   底数则要大于0且不为1 真数大于0

对数的运算性质：

  当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么：   （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);   （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);   （3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n∈R）   （4）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1）   (5) a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 证明：   设a=n^x 则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a)   (6)对数恒等式：a^log（a)N=N;   log（a）a^b=b

对数与指数之间的关系

  当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N

编辑本段对数函数

  右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：   可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数.   （1） 对数函数的定义域为大于0的实数集合.   （2） 对数函数的值域为全部实数集合.   （3） 函数图像总是通过（1,0）点.   （4） a大于1时,为单调增函数,并且上凸；a小于1大于0时,函数为单调减函数,并且下凹.   （5） 显然对数函数无界.   对数函数的常用简略表达方式：   （1）log(a)(b)=log(a)(b)   （2）lg(b)=log(10)(b)   （3）ln(b)=log(e)(b)   对数函数的运算性质：   如果a〉0,且a不等于1,M>0,N>0,那么：   （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);   （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);   （3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n属于R）   （4）log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n属于R）   对数与指数之间的关系   当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于log(a)N   log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n属于R）   换底公式 （很重要）   log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga   ln 自然对数 以e为底 e为无限不循环小数   lg 常用对数 以10为底

编辑本段对数函数的常用简略表达方式

  （1）常用对数:lg(b)=log(10)(b)   （2）自然对数:ln(b)=log(e)(b)   e=2.718281828... 通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义   对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x,它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数）,可表示为x=a^y.因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1）,同样适用于对数函数.   右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：   可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数.

编辑本段性质

  定义域求对数函数y=loga x 的定义域是｛x ｜x>0｝,但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意真数大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx（2x-1）的定义域,需满足｛x>0且x≠1｝ .   ｛2x-1>0 =〉x>1/2且x≠1,即其定义域为 ｛x ｜x>1/2且x≠1｝值域：实数集R   定点：函数图像恒过定点（1,0）.   单调性：a>1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸；       

0<a<1时,在定义域上为单调减函数,并且下凹.   奇偶性：非奇非偶函数,或者称没有奇偶性.   周期性：不是周期函数   零点：x=1   注意：负数和0没有对数.   两句经典话：底真同对数正   底真异对数负

编辑本段对数函数的历史：

  16世纪末至17世纪初的时候,当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算,于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数.   德国的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中,写出了两个数列,左边是等比数列（叫原数）,右边是一个等差数列（叫原数的代表,或称指数,德文是Exponent ,有代表之意）.   欲求左边任两数的积（商）,只要先求出其代表（指数）的和（差）,然后再把这个和（差）对向左边的一个原数,则此原数即为所求之积（商）,可惜史提非并未作进一步探索,没有引入对数的概念.   纳皮尔对数值计算颇有研究.他所制造的「纳皮尔算筹」,化简了乘除法运算,其原理就是用加减来代替乘除法. 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法,他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方 法,其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系.在他的《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理,后人称为 纳皮尔对数,记为Nap．㏒x,它与自然对数的关系为   Nap．㏒x=107㏑(107/x)   由此可知,纳皮尔对数既不是自然对数,也不是常用对数,与现今的对数有一定的距离.   瑞士的彪奇（1552-1632）也独立地发现了对数,可能比纳皮尔较早,但发表较迟（1620）.   英国的布里格斯在1624年创造了常用对数.   1619年,伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）.   对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响,正如科学家伽利略（1564-1642）说：「给我时间,空间和对数,我可以创造出一个宇宙」. 又如十八世纪数学家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」.   最早传入我国的对数著作是《比例与对数》,它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的.当时在lg2=0.3010中,2叫「真数」,0.3010叫做「假数」,真数与假数对列成表,故称对数表.后来改用 「假数」为「对数」.   我国清代的数学家戴煦（1805-1860）发展了多种的求对数的捷法,著有《对数简法》（1845）、《续对数简法》（1846）等.1854年,英国的数学家艾约瑟（1825-1905） 看到这些著作后,大为叹服.   当今中学数学教科书是先讲「指数」,后以反函数形式引出「对数」的概念.但在历史上,恰恰相反,对数概念不是来自指数,因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念.布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议.1742年 ,J．威廉（1675-1749）在给G．威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数.而欧拉在他的名著《无穷小 分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是指数函数的逆函数,和现在教科书中的提法一致.