怎么样快速理解高一数学必修1对数的运算

怎么样快速理解高一数学必修1对数的运算

题目
怎么样快速理解高一数学必修1对数的运算
答案

对数的公理化定义

  真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零,   底数则要大于0且不为1   对数函数的底数为什么要大于0且不为1?   【在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b的值的.但是,根据对数定义: logaa=1;如果a=1或=0那么logaa就可以等于一切实数(比如log1 1也可以等于2,3,4,5,等等)第二,根据定义运算公式:loga M^n = nloga M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 (比如,log(-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log(-2) 4;一个等于4,另一个等于-4)】   通常我们将以10为底的对数叫常用对数(common logarithm),并把log10N记为lgN.另外,在科学技术中常使用以无理数e=2.71828···为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并且把loge N 记为In N. 根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:   当a 〉0,a≠ 1时,a^x=N→X=logaN.   由指数函数与对数函数的这个关系,可以得到关于对数的如下结论:   负数和零没有对数;   loga 1=0 loga a=1

编辑本段对数的定义和运算性质

  一般地,如果a(a大于0,且a不等于1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作log(a)(N)=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.   底数则要大于0且不为1 真数大于0

对数的运算性质:

  当a>0且a≠1时,M>0,N>0,那么:   (1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);   (2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);   (3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n∈R)   (4)换底公式:log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1)   (5) a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 证明:   设a=n^x 则a^(log(b)n)=(n^x)^log(b)n=n^(x·log(b)n)=n^log(b)(n^x)=n^(log(b)a)   (6)对数恒等式:a^log(a)N=N;   log(a)a^b=b

对数与指数之间的关系

  当a>0且a≠1时,a^x=N x=㏒(a)N

编辑本段对数函数

  右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:   可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数.   (1) 对数函数的定义域为大于0的实数集合.   (2) 对数函数的值域为全部实数集合.   (3) 函数图像总是通过(1,0)点.   (4) a大于1时,为单调增函数,并且上凸;a小于1大于0时,函数为单调减函数,并且下凹.   (5) 显然对数函数无界.   对数函数的常用简略表达方式:   (1)log(a)(b)=log(a)(b)   (2)lg(b)=log(10)(b)   (3)ln(b)=log(e)(b)   对数函数的运算性质:   如果a〉0,且a不等于1,M>0,N>0,那么:   (1)log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);   (2)log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);   (3)log(a)(M^n)=nlog(a)(M) (n属于R)   (4)log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) (n属于R)   对数与指数之间的关系   当a大于0,a不等于1时,a的X次方=N等价于log(a)N   log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) (n属于R)   换底公式 (很重要)   log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga   ln 自然对数 以e为底 e为无限不循环小数   lg 常用对数 以10为底

编辑本段对数函数的常用简略表达方式

  (1)常用对数:lg(b)=log(10)(b)   (2)自然对数:ln(b)=log(e)(b)   e=2.718281828... 通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义   对数函数的一般形式为 y=㏒(a)x,它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数),可表示为x=a^y.因此指数函数里对于a的规定(a>0且a≠1),同样适用于对数函数.   右图给出对于不同大小a所表示的函数图形:   可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形,因为它们互为反函数.

编辑本段性质

  定义域求对数函数y=loga x 的定义域是{x |x>0},但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解,除了要注意真数大于0以外,还应注意底数大于0且不等于1,如求函数y=logx(2x-1)的定义域,需满足{x>0且x≠1} .   {2x-1>0 =〉x>1/2且x≠1,即其定义域为 {x |x>1/2且x≠1}值域:实数集R   定点:函数图像恒过定点(1,0).   单调性:a>1时,在定义域上为单调增函数,并且上凸;       

0<a<1时,在定义域上为单调减函数,并且下凹.   奇偶性:非奇非偶函数,或者称没有奇偶性.   周期性:不是周期函数   零点:x=1   注意:负数和0没有对数.   两句经典话:底真同对数正   底真异对数负

编辑本段对数函数的历史:

  16世纪末至17世纪初的时候,当时在自然科学领域(特别是天文学)的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算,于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数.   德国的史提非(1487-1567)在1544年所著的《整数算术》中,写出了两个数列,左边是等比数列(叫原数),右边是一个等差数列(叫原数的代表,或称指数,德文是Exponent ,有代表之意).   欲求左边任两数的积(商),只要先求出其代表(指数)的和(差),然后再把这个和(差)对向左边的一个原数,则此原数即为所求之积(商),可惜史提非并未作进一步探索,没有引入对数的概念.   纳皮尔对数值计算颇有研究.他所制造的「纳皮尔算筹」,化简了乘除法运算,其原理就是用加减来代替乘除法. 他发明对数的动机是为寻求球面三角计算的简便方法,他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方 法,其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系.在他的《奇妙的对数表的描述》中阐明了对数原理,后人称为 纳皮尔对数,记为Nap.㏒x,它与自然对数的关系为   Nap.㏒x=107㏑(107/x)   由此可知,纳皮尔对数既不是自然对数,也不是常用对数,与现今的对数有一定的距离.   瑞士的彪奇(1552-1632)也独立地发现了对数,可能比纳皮尔较早,但发表较迟(1620).   英国的布里格斯在1624年创造了常用对数.   1619年,伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近(以e=2.71828...为底).   对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响,正如科学家伽利略(1564-1642)说:「给我时间,空间和对数,我可以创造出一个宇宙」. 又如十八世纪数学家拉普拉斯( 1749-1827)亦提到:「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」.   最早传入我国的对数著作是《比例与对数》,它是由波兰的穆尼斯(1611-1656)和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的.当时在lg2=0.3010中,2叫「真数」,0.3010叫做「假数」,真数与假数对列成表,故称对数表.后来改用 「假数」为「对数」.   我国清代的数学家戴煦(1805-1860)发展了多种的求对数的捷法,著有《对数简法》(1845)、《续对数简法》(1846)等.1854年,英国的数学家艾约瑟(1825-1905) 看到这些著作后,大为叹服.   当今中学数学教科书是先讲「指数」,后以反函数形式引出「对数」的概念.但在历史上,恰恰相反,对数概念不是来自指数,因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念.布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议.1742年 ,J.威廉(1675-1749)在给G.威廉的《对数表》所写的前言中作出指数可定义对数.而欧拉在他的名著《无穷小 分析寻论》(1748)中明确提出对数函数是指数函数的逆函数,和现在教科书中的提法一致.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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