如图,点A（m,m+1）,B（m+3,m-1）都在反比例函数 y=kx的图象上．

题目

如图,点A（m,m+1）,B（m+3,m-1）都在反比例函数 y=kx的图象上．
（1）过点B作BC⊥x轴于C,请问：在反比例函数的图像上,A与B点之间,是否存在一点P,使得△OAB的面积等于△POC的面积?如果存在,请求直线OP的解析式.
(2)过点A作AM⊥y轴于M、过点B作BN⊥x轴于N,连结MN,当点A与点B在反比例函数的图像上运动时（点A与B不重合),MN与AB的位置关系如何?请证明你的结论.

答案

(1) A（m,m+1）,B（m+3,m-1）代入y=k/x
得 m+1=k/m m^2+m=k (1)
m-1=k/(m+3) m^2+2m-3=k (2)
联立(1)(2)解得m=3 k=12
所以A(3,4) B(6,2) y=12/x
故设P(x',12/x')
△OAB的面积=(1/2)*3*4+(1/2)(4+2)*(6-3)-(1/2)*6*2=12
△POC的面积=(1/2)*6*(12/x')=36/x'
则36/x'=12 x'=3
所以P(3,4)
OP的解析式为 y=(4/3)x
(2) AB和MN平行
设反比例函数为y=k/x
故可设A(a,k/a) B(b,k/b)
则M(0,k/a) N(b,0)
直线AB的斜率k=(k/a-k/b)/(a-b)=-k/ab
直线MN的斜率k'=(k/a-0)/(0-b)=-k/ab
所以k=k'
故ABIIMN
得证