已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x. (Ⅰ)求函数g(x)的解析式; (Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.

已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x. (Ⅰ)求函数g(x)的解析式; (Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.

题目
已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+2x.
(Ⅰ)求函数g(x)的解析式;
(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)-|x-1|.
答案
(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),则P在g(x)的图象上,
 且
x0+x
2
=0
y0+y
2
=0
,即
x0=-x
y0=-y.

∵点Q(x0,y0)在函数y=f(x)的图象上,
∴-y=x2-2x,即y=-x2+2x,故,g(x)=-x2+2x.
(Ⅱ)由g(x)≥f(x)-|x-1|,可得2x2-|x-1|≤0
当x≥1时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解.
当x<1时,2x2+x-1≤0,解得-1≤x≤
1
2
.因此,原不等式的解集为[-1,
1
2
].
(Ⅰ)设函数y=f(x)的图象上任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),则P在g(x)的图象上,由线段的中点公式解出 x0和y0 的解析式,代入函数y=f(x)可得g(x)的解析式.
(Ⅱ)不等式可化为 2x2-|x-1|≤0,分类讨论,却掉绝对值,求出不等式的解集.

绝对值不等式的解法;函数解析式的求解及常用方法.

本题考查求函数的解析式的方法以及解绝对值不等式的方法,体现了分类讨论的数学思想.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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