证明,f(x)=√（x²+1)-x在区间(-无穷大,0]上是减函数,在[0,+无穷大）上也是减函数,

题目

证明,f(x)=√（x²+1)-x在区间(-无穷大,0]上是减函数,在[0,+无穷大）上也是减函数,

答案

f(x)=√(x²+1)-x
f'(x)=x/√(x²+1)-1
令f'(x)≤0,即：x/√(x²+1)-1≤0
整理,有：[x-√(x²+1)]/√(x²+1)≤0
因为：恒有√(x²+1)＞0
所以：x-√(x²+1)≤0
因为：x^2＜x^2+1
所以：恒有x＜√(x²+1)
即：无论x取何值,恒有：x-√(x²+1)≤0
因此：函数f(x)的减区间是：x∈(-∞,∞).
即：当x∈(-∞,0]及x∈[0,∞)时,f(x)都是减函数.