在平面直角坐标系xOy中,若动点P(a,b)到两直线l1：y=x和l2:y=-x+2的距离之和等于2根号2,求a²+b²的最小值

题目

答案

若动点P(a,b)到两直线

l1：y=x和l2:y=-x+2的距离之和等于2根号2

l1,l2交点为T(1,1)

l1,l2的斜率分别为-1,1,

那么l1⊥l2,

P在l1,l2的右侧时,过P分别向l1,l2引垂线,

垂足分别为Q,R,那么|PQ|+|PR|=2√2

过P做y轴的平行线,

与l1,l2交点为C,B如图,

则|PQ|=|TR|,|PR|=|RB|

∴|TR|+|RB|=2√2

其它位置同理,那么点P轨迹为

如图的正方形ABCD

当P在C(3,3)时,

|PO|取得最大值3√2

即a²+b²=|PO|²取得最大值18

举一反三

已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．

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