对于任意k∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x-2k+4的值恒大于零,则x的取值范围是_.
题目
对于任意k∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x-2k+4的值恒大于零,则x的取值范围是______.
答案
∵任意k∈[-1,1],函数f(x)=x
2+(k-4)x-2k+4>0,恒成立,
∴f(k)=k(x-2)+x
2-4x+4>0为一次函数,
∴
,
∴-1(x-2)+x
2-4x+4>0,
(x-2)+x
2-4x+4>0,
解得x<1或x>3,
故答案为(-∞,1)∪(3,+∞).
由题意先对函数y进行求导,解出极值点,然后再根据函数的定义域,把极值点和区间端点值代入已知函数,比较函数值的大小,求出最大值,从而求解.
利用导数求闭区间上函数的最值.
此题是一道常见的题型,把关于x的函数转化为关于k的函数,构造一次函数,因为一次函数是单调函数易于求解,最此类恒成立题要注意.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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