a^2+b^2+c^2=50=3a+4b+5c a>0 b>0 c>0 是否只有唯一的解

题目

a^2+b^2+c^2=50=3a+4b+5c a>0 b>0 c>0 是否只有唯一的解

答案

方程组在实数范围内有唯一解.
a²+b²+c² = 3a+4b+5c,50 = 3a+4b+5c.
两式相加得a²+b²+c²+50 = 2(3a+4b+5c).
整理为a²-6a+9+b²-8b+16+b²-10c+25 = 0
即(a-3)²+(b-4)²+(c-5)² = 0.
三个实数的平方和为0,只能都是0.
于是a = 3,b = 4,c = 5是实数范围内的唯一解(且易见满足a,b,c > 0的条件).