数列{xn}为正项数列.且其极限为a,证明xn的前n项的乘积的n次方根的极限为a .用stolz定理证明

题目

数列{xn}为正项数列.且其极限为a,证明xn的前n项的乘积的n次方根的极限为a .用stolz定理证明

答案

先看O'Stolz定理
　　设有数列An,Bn 若Bn>0递增且有n-->+∞时Bn-->+∞(以下lim均表示lim(n-->∞))
则有:　　若lim(A(n+1)-An)/(B(n+1)-Bn)=L(L可以是0,有限数,或+∞(-∞))
==>lim(An)/(Bn)=L
设B(n)=n,A(n)=Sum_{k=1->n}ln[x(n)]
则ln(a)=lim_{n->+∞}{ln[x(n+1)]} = lim_{n->+∞}{A(n+1)-A(n)}/{B(n+1)-B(n)}
由Stolz定理,有
ln(a)=lim_{n->+∞}{A(n)/B(n)}=lim_{n->+∞}{Sum_{k=1->n}ln[x(n)]}/n
= lim_{n->+∞}(1/n)Sum_{k=1->n}ln[x(n)]
= lim_{n->+∞}ln{[x(1)x(2)...x(n)]^(1/n)}
因此,
lim_{n->+∞}[x(1)x(2)...x(n)]^(1/n) = e^[ln(a)] = a