在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过顶点C在△ABC的外部作直线MN,过点A作AM⊥MN于点M,过点B作BN⊥MN于点N

题目

在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,过顶点C在△ABC的外部作直线MN,过点A作AM⊥MN于点M,过点B作BN⊥MN于点N
求证：MN=AM+BN

答案

证明：
∵∠ACB＝90
∴∠ACM+∠BCN＝180-∠ACB＝90
∵AM⊥MN,BN⊥MN
∴∠AMC＝∠BNC＝90
∴∠ACM+∠CAM＝90
∴∠CAM＝∠BCM
∵AC＝BC
∴△ACM≌△CBN （AAS）
∴AM＝CN,BN＝CM
∵MN＝CN+CM
∴MN＝AM+BN