lim[x→0] (sin x / x)的 [1/x平方] 次方,这个极限怎么求啊?

题目

lim[x→0] (sin x / x)的 [1/x平方] 次方,这个极限怎么求啊?

答案

这是1的∞次方型的不定式
= lim[x→0] e*[1/x平方]·ln (sin x / x)
= e*lim[x→0] [1/x平方]·ln (sin x / x)
= e*lim[x→0] [ln (sin x / x) /x平方]
= e*lim[x→0] [ln ( 1 + ( sin x / x - 1 ) ) /x平方 ]
= e*lim[x→0] [ ( sin x / x - 1 ) / x平方 ] 【等价无穷小】
= e*lim[x→0] [ ( sin x - x ) / x³ ]
= e*lim[x→0] [ ( cos x - 1 ) / (3x²) ] 【洛比达法则】
= e*lim[x→0] [ (-1/2x² ) / (3x²) ]
= e*(-1/6)