已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d＞0,且第二项,第五项,第十四项分别是一个等比数列的第二项,第三项

题目

已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d＞0,且第二项,第五项,第十四项分别是一个等比数列的第二项,第三项

答案

(1)由题意得（a1＋d）（a1＋13d）=（a1＋4d）2,……………………… 2 分
整理得2a1d＝d2．
∵a1＝1,解得（d＝0舍）,d＝2． ………………………………………… 4 分
∴an＝2n－1（n∈N*）． …………………………………………………… 6 分
(2)bn＝ ＝ ＝ （ － ）,
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝ 〔（1－ ）＋（ － ）＋…＋（ － ）〕
＝ （1－ ）＝ ． …………………………………… 10 分
假设存在整数t满足Sn＞ 总成立.
又Sn+1－Sn＝ － ＝ ＞0,
∴数列{Sn}是单调递增的． ……………………………………………… 12 分
∴S1＝ 为Sn的最小值,故 ＜ ,即t＜9．
又∵t∈N*,
∴适合条件的t的最大值为8． ………………………………………… 14 分