如果实数X,Y满足XX+YY=1,则（1+XY）（1-XY）的最大值和最小值是多少

题目

如果实数X,Y满足XX+YY=1,则（1+XY）（1-XY）的最大值和最小值是多少

答案

设x=sint,y=cost,那么原式就等于（1+sintcost）（1-sintcost）=1-sint2cost2=1-sin2t2/4.因为sin2t的平方最大值为1最小值为0所以原式的最大值为1,最小值为1-1/4=3/4 观察到sin²θ+cos²θ=1,则可做三角代换
令x=sinθ,y=cosθ
(1-xy)(1+xy)
=1-(xy)²
=1-(sinθcosθ)²
=1-(sin2θ/2)²
=1-sin2²θ/4
当sin2θ=0时,有最大值1,当sin2θ=±1时,有最小值3/4
(1-xy)(1+xy)的最大值是1,最小值是3/4因为XX+YY=1将xy分别替换为正弦余弦XY的范围是-0.5到0.5带入即可的最大值1最小值0.75