请解释高数定积分证明1、若f(x)在〔-a,a〕上连续且为偶函数,则 ∫（上a下-a）f(x)dx=2∫（上a下0）f(x)dx

题目

请解释高数定积分证明1、若f(x)在〔-a,a〕上连续且为偶函数,则 ∫（上a下-a）f(x)dx=2∫（上a下0）f(x)dx
求证1、若f(x)在〔-a,a〕上连续且为偶函数,则∫（上a下-a）f(x)dx=2∫（上a下0）f(x)dx
2、若f(x)在〔-a,a〕上连续且为奇函数,则∫（上a下-a）f(x)dx=0
证明：因为∫（上a下-a）f(x)dx=∫（上0下-a）f(x)dx+∫（上a下0）f(x)dx
对积分∫（上0下-a）f(x)dx做代换x=-t得
∫（上0下-a）f(x)dx=-∫（上0下a）f(-t)dt=∫（上a下0）f(-t)dt=∫（上a下0）f(-x)dx
于是∫（上a下-a）f(x)dx=∫（上a下0）f(-x)dx+∫（上a下0）f(x)dx
=∫（上a下0）〔f(x)+f(-x)〕dx
（1）若f(x)为偶函数,即f(-x)=f(x),则f(x)+f(-x)=2f(x)
从而∫（上a下-a）f(x)dx=2∫（上a下0）f(x)dx
（2）（1）若f(x)为奇函数,即f(-x)=-f(x),则f(x)+f(-x)=0
从而∫（上a下-a）f(x)dx=0
请问：其中关键的一步
对积分∫（上0下-a）f(x)dx做代换x=-t得
∫（上0下-a）f(x)dx=-∫（上0下a）f(-t)dt=∫（上a下0）f(-t)dt=∫（上a下0）f(-x)dx
看不懂,其中的t为什么直接就换成x了呢?

答案

这是定积分独有的特性,这里的t是假变量
∫(a~b) f(x) dx = ∫(a~b) f(u) du = ∫(a~b) f(t) dt = ∫(a~b) f(z) dz
不同于不定积分,定积分是不用回代的,上下限已经做了转变了.