过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线,且与双曲线的两支相交,求该双曲线离心率范围.

题目

过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线,且与双曲线的两支相交,求该双曲线离心率范围.
我设了一个双曲线方程,然后用直线与双曲线相交带入求二次方程的方法,得到△＞0,x1·x2＜0后求解实在解不出.

答案

∵过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线
∴此直线已与与双曲线的一支相交
∴此直线只需与双曲线的另一支相交 即可
设一渐近线斜率k>0,
双曲线焦点在x轴上,过x轴上正焦点的直线垂直于第四象限的渐近线,
直线斜率为1/k
则需 1/k1
∴ e>√2