等差数列中d≠0,部分项组成数列a(k1),a(k2)...a(kn)恰成等比数列,且k1=1,k2=5,k3=17.,求k1+k2+...+kn

题目

等差数列中d≠0,部分项组成数列a(k1),a(k2)...a(kn)恰成等比数列,且k1=1,k2=5,k3=17.,求k1+k2+...+kn

答案

a1,a5,a17呈等比数列,a5=a1+4d,a17=a1+16d,(a1+4d)^2=a1*(a1+16d)
得出：a1=2d=1,d=0.5,q=a5/a1=(a1+4d)/a1=6d/2d=3
所以,an=0.5n+0.5 a(kn)=3^(kn-1),在a(kn)=3^(kn-1)中
a(kn)=0.5kn+0.5 a(kn-1)=0.5（kn-1）+0.5 ......
两个式子相除：a(kn)/a(kn-1)=(0.5kn+0.5)/(0.5(kn-1)+0.5)=3
一次类推a(kn-1)/a(kn-2)=(0.5（kn-1）+0.5)/(0.5(kn-2)+0.5)=3
.a(k2)/a(k1)=(0.5k2+0.5)/(0.5k1+0.5)=3
这些式子左边相乘可以约分得：a(kn)/a（k1）=3^(k-1)
即：(0.5kn+0.5)/1=3^(k-1) kn=2*3^（k-1）-1
现在要求kn的前n项和,把kn看成一个等比加上-1
则k1+k2+...+kn=2*（1-3^(k-1)）/(1-3)-k*1=3^(k-1)-k-1