已知圆的半径为10,圆心在直线y=2x上,圆被直线x-y=0截得的弦长为42,求圆的方程.

已知圆的半径为10,圆心在直线y=2x上,圆被直线x-y=0截得的弦长为42,求圆的方程.

题目
已知圆的半径为
10
,圆心在直线y=2x上,圆被直线x-y=0截得的弦长为4
2
,求圆的方程.
答案
设圆心(a,2a),由弦长公式求得弦心距d=
10−8
=
2

再由点到直线的距离公式得 d=
|a−2a|
2
=
2
2
|a|,
∴a=±2,∴圆心坐标为(2,4),或(-2,-4),又半径为
10

∴所求的圆的方程为:(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.
设圆心(a,2a),由弦长求出a的值,得到圆心的坐标,又已知半径,故可写出圆的标准方程.

关于点、直线对称的圆的方程.

本题考查圆的标准方程的求法,利用弦长公式和点到直线的距离公式,关键是求出圆心的坐标.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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