已知圆P:x2+y2-2y-3=0,抛物线C以圆心P为焦点,以坐标原点为顶点. (1)求抛物线C的方程; (2)设圆P与抛物线C在第一象限的交点为A,过A作抛物线C的切线与y轴的交点为Q,动点M到P、
题目
已知圆P:x2+y2-2y-3=0,抛物线C以圆心P为焦点,以坐标原点为顶点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设圆P与抛物线C在第一象限的交点为A,过A作抛物线C的切线与y轴的交点为Q,动点M到P、Q两点距离之和等于6,求M的轨迹方程.
答案
(1)圆x
2+y
2-2y-3=0化为标准方程:x
2+(y-1)
2=4
∴圆的圆心P(0,1)…(1分),
设抛物线C:x
2=2py…(2分),
∵抛物线C以圆心P为焦点,
∴
=1…(3分),
∴p=2
∴所求抛物线的方程为x
2=4y…(4分).
(2)由方程组
可得y=1…(5分),
依题意,圆P与抛物线C在第一象限的交点为A,∴A(2,1)…(6分),
抛物线C即函数
y=x2的图象,当x=2时,切线的斜率
k=y′=x=1…(8分),
∴切线为y-1=1×(x-2),即x-y-1=0…(9分),
∴x=0时,y=-1,所以Q(0,-1)…(10分).
∵动点M到P、Q两点距离之和等于6
∴M的轨迹是焦点在y轴的椭圆,
设它的方程为
+=1(a>b>0)…(12分),
则2a=|MP|+|MQ|=6,2c=|PQ|=2…(13分),
∴a=3,b
2=a
2-c
2=8,
∴M的轨迹方程为
+=1…(14分).
(1)根据圆x
2+y
2-2y-3=0的标准方程:x
2+(y-1)
2=4,可得圆的圆心P(0,1),根据抛物线C以圆心P为焦点,利用待定系数法可求抛物线的方程;
(2)联立方程,组成方程组
,根据圆P与抛物线C在第一象限的交点为A,可得A的坐标,进而可求切线方程,即可求Q的坐标,利用动点M到P、Q两点距离之和等于6,可知M的轨迹是焦点在y轴的椭圆,利用待定系数法可求椭圆方程.
圆与圆锥曲线的综合;椭圆的标准方程;抛物线的标准方程.
本题以圆为载体,考查圆与圆锥曲线的综合,考查圆锥曲线的定义,解题的根据是判断曲线的轨迹,从而正确运用定义.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
- 秀美的近以词 神秘的近以词 点缀的近以词 精美的近以词
- 设a1,a2,a3,a4是4维列向量,矩阵A=(a1,a2,a3,a4),如果|A|=2,则|-2A|=()
- 16/27*1/7+5/27/7 简便计算
- 若a,b,c,d为有理数,现规定一种新的运算:.abcd.=ad-bc,那么当.24(1−x)5.=18时,x=_.
- 计算二重积分∫∫e^y^2dσ,其中D:y=x及y=2x,y=1所围成的闭区域
- 两个完全相同的正方形重叠在一起,阴影部分占整个图形的几分之几?◇◇.
- the,taller,than,heavier,the,giraffe,deer,is连词成句
- 如何判断共价键和离子键?
- 甲数比乙数多80%,乙数与甲数的比是( ) A.5:4 B.4:5 C.9:5 D.5:9
- 世界上最深和蓄水量最大的淡水湖是_.
热门考点
- 新的一年开始了,大家都有一个心愿,以心愿为题写一篇作文!
- cM(t1-t2)=cm(t2-t℃)怎么解?
- 1.瞬时速度的方向与位移方向不相同
- 《功夫不负有心人》阅读答案
- 几道简单的方程和算式
- 一框苹果,第一次拿出二分之一还多五个,第二次拿出剩下的二分之一还多五个,照这样拿了五次,最后还剩十个,原来这框苹果有几个?
- 某种商品按原价出售可获利20%,如果打九折出售,要赚60元,求这种商品的成本价
- 《金色花》从深层次讲,本文想表达什么样的主题?
- 国子博士李元归云:“生平游江湖,未尝遇风雨,用此术.” 翻译
- 已知角α的终边经过点P(-2.-3)求α的三个三角函数值