已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c=2，又向量m=（1，cosC），n=（cosC，1），m•n=1． （1）若A=45°，求a的值； （2）若a+b=4，求△ABC的面积．

题目

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中c=2，又向量

m

=（1，cosC），

n

=（cosC，1），

m

•

n

=1．
（1）若A=45°，求a的值；
（2）若a+b=4，求△ABC的面积．

答案

（1）∵

m

•

n

=cosC+cosC=2cosC=1，
∴cosC＝

1

2

，
∵0°＜C＜180°，
∴C=60°，
由正弦定理得，

a

sin45°

＝

2

sin60°

，
∴a＝

2 2

3

＝

2 6

3

；
（2）∵c=2，∠C=60°∴a²+b²-2abcos60°=4，
∴a²+b²-ab=4，
又∵a+b=4，∴a²+b²+2ab=16，∴ab=4，
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

．

（1）根据平面向量的数量积运算化简

m

•

n

=1，得到cosC的值，根据C的范围和特殊角的三角函数值求出C的度数，然后利用正弦定理，由c和A的值求出a的值即可；
（2）根据c和cosC的值，利用余弦定理表示出一个关于a与b的关系式，由a+b的值求出ab的值，然后利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．

本题考点：解三角形；平面向量数量积的运算．

考点点评：此题要求学生掌握平面向量的数量积的运算法则，利用运用正弦、余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道多知识的综合题．