A=(根号7+2)^2n+1 (←2n+1次方) B为A的小数部分 则AB的值应为?

题目

A=(根号7+2)^2n+1 (←2n+1次方) B为A的小数部分 则AB的值应为?
答案是32n+1

答案

首先,我们通过观察
An Bn AnBn
√7＋2 √7－2 3
19√7＋50 19√7－50 27
409√7＋1082 409√7－1082 243
8827√7＋23354 8827√7－23354 2187
.
.
.
不难发现,AB=3^﹙2n＋1﹚,其中n=0,1,2,.；
其次,
﹙√7±2﹚^﹙2n＋1﹚
=Nα﹙√7﹚^﹙2n＋1﹚±Nβ﹙√7﹚^﹙2n﹚×2¹＋Nγ﹙√7﹚^﹙2n－1﹚×2²±...±Nω2^﹙2n＋1﹚ .其中Nα,Nβ,Nγ...Nω∈Z为多项式的系数,
可以看出,所有奇数项均含有√7,所有偶数项均为整数,且A与B符号相反﹙±﹚
我们假设所有奇数项的和为√7a,所有偶数项的和为b
也就是A=﹙√7＋2﹚^﹙2n＋1﹚=√7a＋b,B=﹙√7－2﹚^﹙2n＋1﹚=√7a－b
那么A＋B=2√7a, A－B=2b, A×B=7a²－b²
由于√7－2﹤1,所以B=﹙√7－2﹚^﹙2n＋1﹚﹤1而且当n﹥1时B﹤1/2
即√7a－b﹤1/2,2√7a－2b﹤1
充分说明A=﹙√7＋2﹚^﹙2n＋1﹚的小数部分就是B=﹙√7－2﹚^﹙2n＋1﹚；
事实上AB=﹙√7＋2﹚^﹙2n＋1﹚×﹙√7－2﹚^﹙2n＋1﹚
=[﹙√7＋2﹚×﹙√7－2﹚]^﹙2n＋1﹚
=3^﹙2n＋1﹚.