已知椭圆的中心在原点O,焦点在x轴上,过其右焦点F做斜率为1的直线l,交椭圆于A、B两点,若椭圆上存在一点

题目

已知椭圆的中心在原点O,焦点在x轴上,过其右焦点F做斜率为1的直线l,交椭圆于A、B两点,若椭圆上存在一点
若椭圆上存在一点C,是四边形OACB为平行四边形.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若△OAC的面积为15√5,求这个椭圆的方程.

答案

⑴设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
设C（acosθ,bsinθ）,则OC中点M为（0.5acosθ,0.5bsinθ)
设A、B坐标分别为（x1,y1)、(x2,y2),直线AB斜率为k代入到椭圆方程中,得：
x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减,得：k=(y1-y2)/(x1-x2)=-(b/a)^2×（x1+x2)/(y1+y2)=1
又M也是AB中点,所以 （x1+x2)/(y1+y2)=0.5acosθ/0.5bsinθ
即bsinθ/acosθ=-(b/a)^2 化简得：
bcosθ＋asinθ＝0 ……①
同时MF的斜率为1,所以0.5bsinθ/(0.5acosθ-c)=1 化简得：
acosθ－bsinθ＝2c ……②
①②式平方相加,得：a^2+b^2=4c^2 ,又a^2-c^2=b^2
∴e=c/a=√10/5
⑵S△OAC=1/2S平行四边形OACB=S△OAB=15√5
利用椭圆焦点弦长公式AB＝2ab^2/(a^2-c^2cos^α) α是直线AB的倾斜角
这里,cos^α=1/2 ,所以AB＝4ab^2/(2a^2-c^2)
又O到直线AB的距离d=c/√2 且S△OAB=15√5＝1/2AB×d
将以上各式代入,化简得：a^2=100,b^2=60
∴椭圆的方程为x^2/100+y^2/60=1
顺便给你证明一边椭圆的焦点弦长公式吧：
设椭圆的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)
过焦点F1的直线AB交椭圆于AB两点,倾斜角为α.
另一个焦点为F2,连接AF2与BF2 设AF1＝m,BF1=n
则,根据椭圆定义,AF2＝2a－m ,BF2＝2a－n
在三角形AF1F2中,由余弦定理得
（2a－m)^2=m^2+(2c)^2-2m(2c)cosα
化简得：m=b^2/(a-c*cosα)
同理,再用一次余弦定理,可得n=b^2/(a+c*cosα)
所以AB＝m＋n＝2ab^2/(a^2-c^2cos^α)