如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD∥BC,∠ABC=90°,PD⊥平面ABCD (1)求证:AB⊥平面PAD; (2)若AD=1,AB=3,BC=4,求直线AB与平面PDC所成角的大小.
题目
如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD∥BC,∠ABC=90°,PD⊥平面ABCD
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/574e9258d109b3de32fa24d9cfbf6c81800a4c3e.jpg)
(1)求证:AB⊥平面PAD;
(2)若AD=1,
AB=,BC=4,求直线AB与平面PDC所成角的大小.
答案
(1)证明:∵PD⊥面ABCD,AB⊂面ABCD,∴PD⊥AB,
∵底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD∥BC,∠ABC=90°,
∴AB⊥AD
∵PD∩AD=D,∴AB⊥平面PAD;
(2)∵PD⊥平面ABCD,PD⊂平面PDC
∴平面PDC⊥平面ABCD.
过D作DF∥AB交BC于F,过点F作FG⊥CD交CD于G,则∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/ae51f3deb48f8c540f7a059e39292df5e1fe7fd2.jpg)
在Rt△DFC中,∠DFC=90°,
DF=,CF=3,
∴
tan∠FDG=,∴∠FDG=60°.
即直线AB与平面PDC所成角为60°.
(1)利用线面垂直的性质,可得PD⊥AB,结合底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中AD∥BC,∠ABC=90°,利用线面性质的判定定理可得AB⊥平面PAD;
(2)过D作DF∥AB交BC于F,过点F作FG⊥CD交CD于G,可得∠FDG为直线AB与平面PDC所成的角,从而可得结论.
直线与平面垂直的判定;直线与平面所成的角.
本题考查线面垂直的判定与性质,考查线面角,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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