已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3,右焦点为(2√2,0),斜率为1的直线L与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2)
题目
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3,右焦点为(2√2,0),斜率为1的直线L与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2)
1、求椭圆G的方程;
2、求△PAB的面积
答案
(一)
由椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为√6/3,即e=c/a=√6/3
又由右焦点为(2√2,0),即c=2√2
则a=√12 ,b=√(12- 8)=2
得到椭圆方程为:x^2/12+y^2/2=1
(二)
设斜率为1的直线方程为 y =x + k ,且点A(x1 ,y1) B(x2 ,y2) ,直线AB的中点坐标为M(x0,y0)
有 { x1+ x2 =2x0 (1)
{ y1+ y2 =2y0 (2)
把点A和点B的坐标代入直线方程
{ y1= x1+ k (3)
{ y2= x2+ k (4)
并分别把(1),(2)代入椭圆方程中
{x1^2/12+y1^2/2=1 (5)
{x2^2/12+y2^2/2=1 (6)
由(3)减(4) 可以得到 (x1^2-x2^2/12 +(y1^2-y2^2)/4=0
即 (x1-x2)(x1+x2)/12 +(y1-y2)(y1+y2)/4=0
代入直线方程 y= x+ k
得到 (x1-x2)(x1+x2)/12 +(x1-x2)(x1+x2+2k)/4=0
把 同因子(x1-x2)约去
得到
(x1+x2)/12+(x1+x2+2k)/4=0 (7)
代入(1),(2)式
2x0/12 + (2x0+ 2k)/4=0
可以得到M的横坐标与直线斜距K的关系 k= ( -4/3)x0
设直线PM的斜率为Kpm
由M为AB的中点,三角形PAB为等腰三角形
则直线PM垂直于AB
即直线PM的斜率应为直线AB斜率的负倒数
即Kpm= -1
由P(-3,2) M(x0,yo ) 又由y0=x0+(-4/3)x0=(-1/3)x0 且 Kpm=-1
得到 (-3 +1/3 x0)/(2-x0)=-1
得到 x0= -3/2
即可以求出直线方程 y=x+2
将直线方程代入椭圆方程,即可求的交点A和B的横坐标和纵坐标
然后求出线段AB的长度 或者直接运用公式 AB=| x1- x2|√(1+k^2) 此处K为直线AB的斜率
(过程自己算)
可以求得AB=3√2
由P点和M点的坐标可以运用坐标公式PM=√(-3 -x0)^2+(2-y0)^2 =3√2/2
综上:三角形PAB的面积为 S=1/2 AB*PM=9/2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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