已知x÷﹙x²+3x+1﹚=1÷7,求x²÷﹙x四次方+3x+1﹚的值

题目

已知x÷﹙x²+3x+1﹚=1÷7,求x²÷﹙x四次方+3x+1﹚的值

答案

已知x/(x²+3x+1)=1/7,求x²/(x⁴+3x²+1)的值【原题分母上的3x似乎是3x²之误】
因为x/(x²+3x+1)=1/[x+3+(1/x)]=1/7
故x+(1/x)+3=7,x+(1/x)=4,x²+2+(1/x²)=16,于是得x²+(1/x²)=14.
所以 x²/(x⁴+3x²+1)=1/[x²+3+(1/x²)]=1/(14+3)=1/17
【如果原题无误,则求解如下：】利用前面的结果：
x+(1/x)=4,x²+(1/x²)=14；x²-4x+1=0,故x=(4±√12)/2=2±√3
故x²/(x⁴+3x+1)=1/[x²+(1/x²)+(3/x)]=1/[14+3/(2±√3)]
=(2±√3)/[31±14√3]
即x²/(x⁴+3x+1)=(2+√3)/(31+14√3)=(20+3√3)/373
或x²/(x⁴+3x+1)=(2-√3)/(31-14√3)=(20-3√3)/373