已知a、b为正数，若a+1＞b，求证：对于任何大于1的正数x，恒有ax+x/x−1＞b成立．

题目

已知a、b为正数，若

a

+1＞

b

，求证：对于任何大于1的正数x，恒有ax+

x

x−1

＞b成立．

答案

证明：ax+

x

x−1

=a（x-1）+

1

x−1

+1+a≥2

a

+1+a=（

a

+1）²．
∵

a

+1＞

b

（b＞0），
∴（

a

+1）²＞b．
∴恒有ax+

x

x−1

＞b成立．

欲使恒有ax+

x

x−1

＞b成立，只须b小于左式的最小值即可，故先利用基本不等式求出此左式的最小值即可．

本题考点：不等式的证明．

考点点评：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、某些已经证明过的不等式及不等式的性质经过一系列的推理、论证等而推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法．条件如何利用取决于要证明的不等式两端的差异如何消除．